Useimmilla meistä on jokin mielipide – usein aika vahvakin sellainen – matematiikasta. Mielipide perustuu usein omiin koulumuistoihin. Valitettavan monella on negatiivisia kokemuksia matematiikasta, ja monella on vaikea löytää motivaatiota sen opiskeluun. Se saatetaan usein kokea vaikeana ja turhana. Motivaation puute ja matematiikan kokeminen vaikeana kulkevat usein käsi kädessä. Kuinkahan moni on pysähtynyt miettimään, mitä matematiikka oikeastaan on?

Matematiikan määritelmä

Kun puhumme matematiikasta, mistä oikeastaan puhumme? Tekoäly määrittelee matematiikan seuraavasti: ”Matematiikka on tieteenala, joka tutkii lukujen, rakenteiden, avaruuden ja muutoksen ominaisuuksia ja suhteita. Se on abstrakti ja looginen järjestelmä, joka perustuu aksioomiin ja sääntöihin.” Tässä määritelmässä tulee esiin monia käsitteitä, jotka kuvaavat matematiikkaa.

Numeroiden merkitys

Luultavasti aika monelle tulee matematiikasta ensin mieleen luvut tai numerot. Ne ovat toki tärkeitä, mutta matematiikka on paljon muutakin. Numerot ovat ikään kuin kuori – se konkreettinen asia, jonka havaitsemme ensin, kun selaamme matematiikan kirjaa tai muuta oppimateriaalia. Matematiikan tehtävien vastaukset ovat monesti numeroita mahdollisine yksiköineen. Usein ratkaisuprosessi sisältää kuitenkin muutakin kuin lukuja ja laskemista. Etenkin lukiomatematiikan tehtävissä tarvitaan usein päättelyä ja teorian soveltamista tilanteissa, joihin ei välttämättä ole valmista esimerkkiä.

Tarkat määritelmät

Päättely pohjautuu sääntöihin ja määritelmiin, jotka ovat matematiikassa hyvin täsmällisiä ja yksiselitteisiä. Arkikielessä puhumme usein asioista melko epämääräisin termein ja fiilispohjalta. Ajatellaan vaikka jotain kaikille tuttua geometrista muotoa, kuten ympyrää. Vaikka kaikilla lienee selkeä käsitys siitä, mikä ympyrä on, sen täsmällinen määrittely olisi luultavasti monelle vaikeaa. Moni ehkä sanoisi, että se on pyöreän muotoinen. Edelleen voisi kysyä, mitä pyöreä tarkoittaa? Matematiikassa ei voida tyytyä näin epämääräisiin kuvauksiin, vaikka toki arkikielessä ne ovat ihan riittäviä. Täsmällisen määritelmän mukaan ympyrä koostuu niistä tason pisteistä, jotka ovat yhtä etäällä tietystä kiinteästä pisteestä. Näinhän se on. Jos valitsee ympyrän kehältä minkä tahansa pisteen ja mittaa sen etäisyyden kyseisen ympyrän keskipisteeseen, tulos on aina sama. Miksi tarvitaan näin hienolta kuulostava määritelmä? Siksikö, että matematiikan kuuluu olla hankalaa ja abstraktia? Ei suinkaan.

Kumulatiivisuus ja päättely

Tarkat määritelmät tarvitaan, jotta täsmällinen päättely olisi mahdollista. Jos esimerkiksi halutaan tutkia tarkemmin ympyrään liittyviä ominaisuuksia – ja argumentoida niistä tarkasti – pitää olla täsmällinen määritelmä ympyrälle. Matematiikka on kumulatiivinen tiede, jossa kaikki uudet todistukset nojaavat aiemmin todistettuihin tuloksiin. Viimekädessä matemaattiset todistukset pohjautuvat määritelmiin (kuten ympyrän määritelmä) ja niin sanottuihin aksioomiin. Aksioomat ovat eräänlaisia perusoletuksia, joita ei tarvitse erikseen todistaa, vaan niitä voidaan pitää itsestään selvinä. Matematiikan luonne tieteenalana on ainutlaatuinen. Tarkoista ja yksiselitteisistä määritelmistä seuraa, että matematiikka on ajatonta ja ikuista.

Matematiikan opiskelu

Miten matematiikan luonne vaikuttaa matematiikan opiskeluun ja oppimiseen? Monesti vaikeudet matematiikan opiskelussa johtuvat siitä, etteivät perustaidot ole hallussa. Koska matemaattinen osaaminen rakentuu vanhojen tietojen ja taitojen päälle, uusien asioiden omaksuminen on tällöin todella vaikeaa, mikä johtaa usein ulkoa opetteluun ja turhautumiseen. Toisaalta, jos asiat opetellaan systemaattisesti ja ymmärrys edellä, uusien asioiden oppiminen helpottuu huomattavasti. Opiskelun kannalta matematiikan kumulatiivinen luonne on siis kaksipiippuinen juttu. Matematiikan opiskelussa on tärkeää, ettei asioita tehdä tietyllä tavalla vaan, koska ”niin kuuluu tehdä”. Matematiikassa saa ja pitää kyseenalaistaa. Ja hyväksyä se, että matematiikka ei ole vaan numeroita ja laskemista – esimerkiksi ympyrän määritelmässä ei ollut yhtään numeroa. Matematiikka on logiikan ja säännönmukaisuuksien etsimistä ja löytämistä, jossa numerot ja laskeminen ovat vain väline, eivät itse tarkoitus.